设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且x＞0时0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；（2）证明：f（x）在R 上单调递减；（3）设A={（x，y）|f（x2）?f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=?，确定a 的范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且x＞0时0＜f（x）＜1．
（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；
（2）证明：f（x）在R 上单调递减；
（3）设A={（x，y）|f（x²）?f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=?，确定a 的范围．

试题解答

见解析

（1）证明：f（m+n）=f（m）?f（n），
令m＞0，n=0，?f（m）=f（m）f（0）
已知x＞0时0＜f（x）＜1．
?f（0）=1
设m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1）
?f（0）=f（m+n）=f（m）f（n）=1?f（m）＞1，即当x＜0时f（x）＞1 …（4分）
（2）?x₁＜x₂∈R，则x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0?f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0
∴f（x）在R 上单调递减． …（10分）
（3）f（x²）f（y²）＞f（1）?f（x²+y²）＞f（1）
f（x）在R上单调递减
?x²+y²＜1（单位圆内部分）
f（ax-y+2）=1=f（0）?ax-y+2=0（一条直线）
A∩B=φ?