对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由；（2）如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数

是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数

的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）

见解析

（1）设[m，n]是函数

的“和谐区间”，则

在[m，n]上单调．
所以[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
因此，

在[m，n]上为增函数．
则f（m）=m，f（n）=n．即方程

有两个解m，n
又

可化为x²-3x+4=0，而x²-3x+4=0无实数解．
所以，函数

不存在“和谐区间”
（2）因为

在[m，n]上是单调的，
所以[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
则f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是

的两个同号的实数根
即方程a²x-（a²+a）x+1=0有两个同号的实数根，注意到

只要△=（a²+a）²-4a²＞0，解得a＞1或a＜-3
所以

其中a＞1或a＜-3，所以，当a=3时，n-m取最大值

（3）答案不唯一，如可写出以下函数：y=a-x（a为常数），

（k＞0为常数）

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