已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）试讨论函数f（x）的单调区间．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）试讨论函数f（x）的单调区间．

见解析

（1）当a∈[0，2）时，∵△=a²-4＜0，∴x²-ax+1＞0恒成立，
函数f（x）定义域为R，
当a=2，△=a²-4=0，函数f（x）定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
当a∈（2，+∞）时，∵△=a²-4＞0，
x²-ax-1=0的两个根为x₁=

，x₂=

，且x₁＜x₂，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，x₁）∪（x₁，x₂）∪（x₂，+∞）
（2）f（x）=

当a=0时，f′（x）=

，∴f（x）在R上的单调递增；
当a∈（0，2）时，a+1＞1，∴f（x）在（-∞，1）单调递增；
（1，1+a）单调递减，（1+a，+∞）单调递增；
当a=2时，f′（x）=

，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，3）单调递减，（3，+∞）单调递增；
当a∈（2，+∞）时，0＜x₁＜1＜x₂，
又对称轴x=

＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，
∴x₂＜a+1，
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）单调递增，（1，x₂），（x₂，a+1）单调递减，（1+a，+∞）单调递增；

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