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  • 已知函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a＞1．（1）若a＞2，讨论函数f（x）的单调性；（2）已知a=1，g（x）=2f（x）+x3，若数列{an}的前n项和为Sn=g（n），证明：（n≥2，n∈N+）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a＞1．
      （1）若a＞2，讨论函数f（x）的单调性；
      （2）已知a=1，g（x）=2f（x）+x      3，若数列{an}的前n项和为Sn=g（n），证明：（n≥2，n∈N+）．

      试题解答

      见解析
      （1）函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a＞1．
      根据对数函数的性质，可得x＞0，
      ∴f′（x）=x-a+      =，
      ∵a＞2，∴a-1＞1，
      则f（x）在（1，a-1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数；
      f（x）在（0，1），（a-1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
      （2）已知a=1，可得f（x）=      x2-x，∵g（x）=2f（x）+x3=x3+x2-2x，
      ∵数列{a      n}的前n项和为Sn=g（n），
      ∴S      n=g（n）=n3+n2-2n，∵an=sn-sn-1，（n≥2）
      ∴a      n=n3+n2-2n-[（n-1）3+（n-1）2-2（n-1）]=3n2-n-2，
      ∴a      n=，
      ∴a      n=3n2-n-2，
      =＜=（-），
      ∴      [1-+-+…+-]=（1-）＜
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