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  • 已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，√a]上是减函数，在[√a，+∞)上是增函数．（1）如果函数y=x+2bx(x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．（2）设常数c∈[1，4]，求函数f(x)=x+cx(1≤x≤2)的最大值和最小值；（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=xn+cxn(c＞0)的单调性，并说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=x+
      a
      x
      有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
      √a
      ]上是减函数，在[
      √a
      ，+∞)上是增函数．
      （1）如果函数y=x+
      2b
      x
      (x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．
      （2）设常数c∈[1，4]，求函数f(x)=x+
      c
      x
      (1≤x≤2)的最大值和最小值；
      （3）当n是正整数时，研究函数g(x)=x      n+
      c
      xn
      (c＞0)的单调性，并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由已知得
      √2b
      =4，
      ∴b=4．
      （2）∵c∈[1，4]，
      ∴
      √c
      ∈[1，2]，
      于是，当x=
      √c
      时，函数f（x）=x+
      c
      x
      取得最小值2
      √c
      ．
      f（1）-f（2）=
      c-2
      2
      ，
      当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是f（2）=2+
      c
      2
      ；
      当2≤c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c．
      （3）设0＜x      1＜x2，g（x2）-g（x1）
      =      x
      n
      2
      +
      c
      x
      n
      2
      -x
      n
      1
      -
      c
      x
      n
      1
      =(x
      n
      2
      -x
      n
      1
      )(1-
      c
      x
      n
      1
      x
      n
      2
      )．
      当
      2n√c
      ＜x1＜x2时，g（x2）＞g（x1），函数g（x）在[
      2n√c
      ，+∞）上是增函数；
      当0＜x      1＜x2＜
      2n√c
      时，g（x2）＞g（x1），函数g（x）在（0，
      2n√c
      ]上是减函数．
      当n是奇数时，g（x）是奇函数，
      函数g（x）在（-∞，-
      2n√c
      ]上是增函数，在[-
      2n√c
      ，0）上是减函数．
      当n是偶数时，g（x）是偶函数，
      函数g（x）在（-∞，-
      2n√c
      ）上是减函数，在[-
      2n√c
      ，0]上是增函数．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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