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  • 已知函数g（x）=1xsinθ+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-m-1x-lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=2ex，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数g（x）=
      1
      xsinθ
      +lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-
      m-1
      x
      -lnx（m∈R）．
      （Ⅰ）求θ的值；
      （Ⅱ）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
      （Ⅲ）设h（x）=
      2e
      x
      ，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意，g′(x)=-
      1
      sinθ?x2
      +
      1
      x
      ≥0在[1，+∞）上恒成立，即
      sinθ?x-1
      sinθ?x2
      ≥0．
      ∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ?x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ?1-1≥0，
      即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ=
      π
      2
      ．
      （2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-
      m
      x
      -2lnx．
      ∴(f(x)-g(x))      ′=
      mx2-2x+m
      x2
      ．
      ∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，
      ∴mx      2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2-2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即m≥
      2x
      1+x2
      ，
      而
      2x
      x2+1
      =
      2
      x+
      1
      x
      ，（
      2
      x+
      1
      x
      ）max=1，∴m≥1．mx2-2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即m≤
      2x
      1+x2

      在[1，+∞）恒成立，而
      2x
      x2+1
      ∈（0，1]，m≤0．
      综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
      （3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)=mx-
      m
      x
      -2lnx-
      2e
      x
      ．
      当m≤0时，x∈[1，e]，mx-
      m
      x
      ≤0，-2lnx-
      2e
      x
      ＜0，
      所以在[1，e]上不存在一个x      0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立．
      当m＞0时，(F(x))′=m+
      m
      x2
      -
      2
      x
      +
      2e
      x2
      =
      mx2-2x+m+2e
      x2
      ．
      因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx      2+m＞0，
      所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
      故F（x）在[1，e]上单调递增，F(x)      max=F(e)=me-
      m
      e
      -4，只要me-
      m
      e
      -4＞0，
      解得m＞
      4e
      e2-1
      ．
      故m的取值范围是(
      4e
      e2-1
      ，+∞)．
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