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  • 已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义域在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性；（3）解不等式f（x-1）＜-f（x）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      ax+b
      1+x2
      是定义域在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）确定函数f（x）的解析式；
      （2）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性；
      （3）解不等式f（x-1）＜-f（x）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ，
      ∴
      {
      a×0+b
      1+02
      =0
      1
      2
      a+b
      1+(
      1
      2
      )2
      =
      2
      5
      ，解得a=1，b=0．
      ∴f（x）=
      x
      1+x2
      ．
      （2）f（x）在（-1，1）上是增函数，证明如下：
      由（1）知f（x）=
      x
      1+x2
      （-1＜x＜1），
      f'（x）=
      (1+x2)-x?2x
      (1+x2)2
      =
      1-x2
      (1+x2)2
      ，
      ∵-1＜x＜1，∴f'（x）＞0，
      ???f（x）在（-1，1）上单调递增．
      （3）∵f（x）=
      x
      1+x2
      在（-1，1）是增函数，且f（x）是奇函数，
      ∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
      ∴-1＜x-1＜-x＜1，解得0＜x＜
      1
      2
      ．
      ∴f（x-1）＜-f（x）的解集为{x|0＜x＜
      1
      2
      }．
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