已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时f（x）=log 12（-x+1）（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；指出f（x）的单调区间并说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数（不需要证明，但要写出判断过程）；（Ⅲ）若f（a-1）＜-1，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时f（x）=log _1
2（-x+1）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；指出f（x）的单调区间并说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数（不需要证明，但要写出判断过程）；
（Ⅲ）若f（a-1）＜-1，求实数a的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）由题意可得，f（1）=f（-1）=log _1
2（1+1）=-1．
（Ⅱ）当x＞0时，-x＜0，f（-x）=log _1
2（x+1）=f（x），
故有f（x）=

{

log_1
2(-x+1) ，x≤0

log_1
2(x+1) ，x＞0

，
当x＞0 时，f（x）=log_1
2(x+1) 是减函数；当x≤0时，f（x）=log_1
2(-x+1) 是增函数．
故函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0]上是增函数．
（Ⅲ）∵f（a-1）＜-1，∴①

{

a-1＞0

log_1
2(a-1+1)＜-1

，或 ②

{

a-1≤0

log_1
2[-(a-1)+1]＜-1

．
解①可得a＞2，解②可得a＜0．
综上可得，a的范围为（2，+∞）∪（-∞，0）．

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