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  • 如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（Ⅱ）已知f（x）=ln（1+ex）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
      x1+x2
      2
      )＜
      f(x1)+f(x2)
      2
      ，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
      （Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e      x）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
      （Ⅱ）已知f（x）=ln（1+e      x）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）函数f（x）是凹函数，证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
      则f(x      1)+f(x2)-2f(
      x1+x2
      2
      )
      =ln(1+e      x1)+ln(1+ex2)-x1-x2-2[ln(1+e
      x1+x2
      2
      )-
      x1+x2
      2
      ]
      =ln(1+e      x1)(1+ex2)-ln(1+e
      x1+x2
      2
      )2
      =ln(1+e      x1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e
      x1+x2
      2
      +ex1+x2)
      ∵      ex1＞0，ex2＞0，且x1≠x2
      ∴      ex1+ex2＞2
      √ex1ex2
      =2e
      x1+x2
      2

      ∴1+e      x1+ex2+ex1+x2＞1+2e
      x1+x2
      2
      +ex1+x2
      ∴ln(1+e      x1+ex2+ex1+x2)＞ln(2+2e
      x1+x2
      2
      +ex1+x2)
      ∴ln(1+e      x1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e
      x1+x2
      2
      +ex1+x2)＞0
      ∴f(x      1)+f(x2)＞2f(
      x1+x2
      2
      )∴f（x）是凹函数（7分）
      （Ⅱ）证明：（Ⅱ）设A（x      1，y1），B（x2，y2），C（（x3，y3），
      且x      1＜x2＜x3，∵f（x）是x∈R上的单调减函数∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）
      ∴
      BA
      ?
      BC
      =(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))
      ∵x      1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0
      ∴
      BA
      ?
      BC
      ＜0，∴cosB＜0，∠B为钝角
      故△ABC为钝角三角形．（13分）
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