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  • 已知f(x)=loga1-x1+x(a＞0，且a≠1)（1）求f(12012)+f(-12012)的值；（2）当x∈（-t，t]（其中t∈（-1，1），且t为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；（3）当f（x-2）+f（4-3x）≥0时，求满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=loga
      1-x
      1+x
      (a＞0，且a≠1)
      （1）求f(
      1
      2012
      )+f(-
      1
      2012
      )的值；
      （2）当x∈（-t，t]（其中t∈（-1，1），且t为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；
      （3）当f（x-2）+f（4-3x）≥0时，求满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令
      1-x
      1+x
      ＞0，解得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称．
      又f（-x）=log      a
      1+x
      1-x
      =loga(
      1-x
      1+x
      )-1=-loga
      1-x
      1+x
      =-f（x），
      所以f（x）为奇函数，
      所以f(
      1
      2012
      )+f(-
      1
      2012
      )=f(
      1
      2012
      )-f(
      1
      2012
      )=0．
      （2）设-1＜x      1＜x2＜1，
      则
      1-x1
      1+x1
      -
      1-x2
      1+x2
      =
      2(x2-x1)
      (1+x1)(1+x2)
      ．
      因为-1＜x      1＜x2＜1，
      所以
      1-x1
      1+x1
      -
      1-x2
      1+x2
      ＞0，即
      1-x1
      1+x1
      ＞
      1-x2
      1+x2
      ．
      所以
      1-x
      1+x
      在（-1，1）上为减函数，也在（-t，t]上为减函数，
      ①当a＞1时，y=log      at单调递增，t=
      1-x
      1+x
      单调递减，所以y=loga
      1-x
      1+x
      在（-t，t]上单调递减，
      此时f（x）存在最小值为f（t）=log      a
      1-t
      1+t
      ．
      ②当0＜a＜1时，y=log      at单调递减，t=
      1-x
      1+x
      单调递减，所以y=loga
      1-x
      1+x
      在（-t，t]上单调递增，
      此时f（x）不存在最小值．
      综①②知，当a＞1时，f（x）存在最小值为f（t）=log      a
      1-t
      1+t
      ．
      （3）f（x-2）+f（4-3x）≥0可化为f（x-2）≥-f（4-3x），
      由（1）知f（x）为奇函数，所以f（x-2）≥f（3x-4），
      ①当a＞1时，由（2）知f（x）在（-1，1）上为减函数，
      所以
      {
      x-2≤3x-4
      -1＜x-2＜1
      -1＜3x-4＜1
      ，解得1＜x＜
      5
      3
      ．
      ②当0＜a＜1时，由（2）知f（x）在（-1，1）上为增函数，
      所以
      {
      x-2≥3x-4
      -1＜x-2＜1
      -1＜3x-4＜1
      ，解得为?．
      综①②得满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围为：（1，
      5
      3
      ）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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