已知函数f（x）=，g（x）=alnx-x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

，g（x）=alnx-x（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x₁，x₂∈（0，e]，总有g（x₁）＜f（x₂）成立．

试题解答

见解析

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，

．
当a＞0时，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘		↗		↘

当a＜0时，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘		↗

综上所述，
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，
又f（0）=a，f（e）=

所以f（x）_min=a，
同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，
所以g（x）_max=g（a）=alna-a，
因为a-（alna-a）=a（2-lna）＞a（2-lne）=a＞0，
所以对于任意x₁，x₂∈（0，e]，总有g（x）_max=g（e）=alna-a＜a=f（x）_min．
所以对于任意x₁，x₂∈（0，e]，仍有x₁，x₂∈（0，e]．
综上所述，对于任意x₁，x₂∈（0，e]，总有g（x₁）＜f（x₂）成立．…（13分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=，g（x）=alnx-x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题