地区：: 全部; 北京; 上海; 天津; 重庆; 安徽; 甘肃; 广东; 广西; 贵州; 海南; 河北; 河南; 湖北; 湖南; 吉林; 江苏; 江西; 宁夏; 青海; 山东; 山西; 陕西; 西藏; 新疆; 浙江; 福建; 辽宁; 四川; 黑龙江; 内蒙古

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）上有解，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜

m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）上有解，求实数t的取值范围．

见解析

（1）由已知得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²的单调递减区间是（1，2），
∴由f′（x）＜0，得1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0，
从f（0）=a²=1且 a＞0可得a=1，
又

，解得

，
∴f（x）=x³-

x²+6x+1．
（2）由（1）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0，所以f（x）在[2，+∞）上是增函数，
对x∈[2，+∞），当x=2时，f（x）min=f（2）=3，
要使f（x）＜

m³-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）上有解，
只需f_min（x）＜

m³-mlnm-mt+3，即3＜

m³-mlnm-mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，
也即mt＜

m³-mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，即t＜

m²-lnm对任意m∈（0，2]恒成立，
设h（m）=

m²-lnm，m∈（0，2]，则t＜h（m）_min，
h′（m）=m-

，令h′（m）=0，得m=1或m=-1（舍），
当m∈（0，2]时，h′（m）与h（m）的变化情况如???表：
m（0，1）1（1，2）2h′（m）-+h（m）↘极小值

↗2-ln2∴m=1时，h（m）min=h（m）极小值=

，
所以t＜

，即实数t的取值范围为t＜

．

标签