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  • 已知函数f（x）=（-x2+ax）ex（a∈R，e为自然对数的底数）．???1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=（-x2+ax）ex（a∈R，e为自然对数的底数）．
      ???1）求函数f（x）的单调区间；
      （2）若函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得f′（x）=[-x2+（a-2）x+a]ex，令g（x）=-x2+（a-2）x+a，∵ex＞0，
      故g（x）的符号与f′（x）的符号相同．
      对于g（x），由于△=（a-2）      2+4a=a2+4＞0，令g（x）=0，求得x=
      (a-2)±
      √a2+4
      2
      ，
      故当x∈（-∞，
      a-2-
      √a2-4
      2
      ）∪（
      a-2+
      √a2-4
      2
      ，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0；
      当x∈（
      a-2-
      √a2-4
      2
      ，
      a-2+
      √a2-4
      2
      ）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，
      故函数的增区间为∈（-∞，
      a-2-
      √a2-4
      2
      ）、（
      a-2+
      √a2-4
      2
      ，+∞），减区间为（
      a-2-
      √a2-4
      2
      ，
      a-2+
      √a2-4
      2
      ）．
      （2）若函数f（x）在x∈（-1，1）上单调递增，则f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立．
      即-x      2+（a-2）x+a≥0在（-1，1）上恒成立，即 a≥
      x2+2x
      x+1
      在（-1，1）上恒成立．
      设h（x）=
      x2+2x
      x+1
      ，在（-1，1）上，h′（x）=
      (x+1)2+1
      (x+1)2
      ＞0，∴h（x）在（-1，1）上是增函数，∴h（x）＜h（1）=
      3
      2
      ，
      故a≥
      3
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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