过原点的二次函数y=f（x）的顶点为（-1，-1）（1）求y=f（x）的解析式；（2）求h（x）=f（lgx），（x＞0）的单调区间；（3）若g(x)=f(x)+kx2+x+1，x∈R的值域为[23，2]，求实数k的值．试题及答案-单选题-云返教育

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过原点的二次函数y=f（x）的顶点为（-1，-1）
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求h（x）=f（lgx），（x＞0）的单调区间；
（3）若g(x)=

f(x)+k

x²+x+1

，x∈R的值域为[

，2]，求实数k的值．

试题解答

见解析

解：（1）∵二次函数y=f（x）的顶点为（-1，-1），
∴设二次函数f（x）=a（x+1）²-1，
又二次函数经过原点，则0=a（0+1）²-1，解得a=1．
∴y=f（x）的解析式为f（x）=（x+1）²-1=x²+2x；
（2）h（x）=f（lgx），
外层函数y=f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在[-1，+∞）上为增函数，
由lgx=-1，得：x=

．
而内层函数y=lgx在（0，+∞）上为增函数，
由复合函数的单调性知：当x∈(0，

)时，函数h（x）=f（lgx）为减函数，
当x∈[

，+∞)时，函数h（x）=f（lgx）为增函数；
（3）令y=g（x）=

f(x)+k

x²+x+1

x²+2x+k

x²+x+1

，得
（y-1）x²+（y-2）x+y-k=0．
由△=（y-2）²-4（y-1）（y-k）=-3y²+4ky+4-4k≥0，得
3y²-4ky-4+4k≤0．
∵g(x)=

f(x)+k

x²+x+1

，x∈R的值域为[

，2]，
则

+2=

，解得k=2．

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过原点的二次函数y=f（x）的顶点为（-1，-1）（1）求y=f（x）的解析式；（2）求h（x）=f（lgx），（x＞0）的单调区间；（3）若g(x)=f(x)+kx2+x+1，x∈R的值域为[23，2]，求实数k的值．试题及答案-单选题-云返教育

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