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  • 已知函数f(x)=|1-1x|，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=|1-
      1
      x
      |，（x＞0）．
      （Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
      （Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
      （Ⅲ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （I）证明：∵x＞0，∴f(x)=
      {
      1-
      1
      x
      ，x≥1
      1
      x
      -1，0＜x＜1.

      ∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
      由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和
      1
      a
      -1=1-
      1
      b
      ，即
      1
      a
      +
      1
      b
      =2．
      ∴2ab=a+b＞2
      √ab
      ．…（3分）
      故
      √ab
      ＞1，即ab＞1．…（4分）
      （II）解：不存在满足条件的实数a，b．
      若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=f(x)=|1-
      1
      x
      |的定义域、值域都是[a，b]，
      则a＞0，f(x)=
      {
      1-
      1
      x
      ，x≥1
      1
      x
      -1，0＜x＜1.

      ①当a，b∈（0，1）时，f(x)=
      1
      x
      -1在（0，1）上为减函数．
      故
      {
      f(a)=b
      f(b)=a.
      ，即
      {
      1
      a
      -1=b
      1
      b
      -1=a.
      ，解得a=b．
      故此时不存在适合条件的实数a，b．…（6分）
      ②当a，b∈[1，+∞）时，f(x)=1-
      1
      x
      在（1，+∞）上是增函数．
      故
      {
      f(a)=a
      f(b)=b.
      ，即
      {
      1-
      1
      a
      =a
      1-
      1
      b
      =b.

      此时a，b是方程x      2-x+1=0的根，此方程无实根．
      故此时不存在适合条件的实数a，b．…（8分）
      ③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0?[a，b]，
      故此时不存在适合条???的实数a，b．
      综上可知，不存在适合条件的实数a，b．…（10分）
      （III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
      则a＞0，m＞0．
      ①当a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故
      {
      1
      a
      -1=mb
      1
      b
      -1=ma.
      ．
      此时刻得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
      ②当a∈（0，1）或b∈[1，+∞）时，由（ II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
      故只有a，b∈[1，+∞）．
      ∵f(x)=|1-
      1
      x
      |在[1，+∞）上是增函数，
      ∴
      {
      f(a)=ma
      f(b)=mb.
      ，即
      {
      1-
      1
      a
      =ma
      1-
      1
      b
      =mb.

      ∴a，b是方程mx      2-x+1=0的两个根，即关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的实根．…（12分）
      设这两个根为x      1，x2，则x1+x2=
      1
      m
      ，x1?x2=
      1
      m
      ．
      ∴
      {
      △＞0
      (x1-1)+(x2-1)＞0
      (x1-1)(x2-1)＞0.
      ，即
      {
      1-4m＞0
      1
      m
      -2＞0.

      解得0＜m＜
      1
      4
      ．
      故m的取值范围是0＜m＜
      1
      4
      ．…（14分）
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