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  • 已知函数f（x）=x+1x-2，x∈[3，7]．（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x+1
      x-2
      ，x∈[3，7]．
      （1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
      （2）求函数f（x）的最大值和最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f（x）在区间[3，7]内单调递减，证明如下：
      在[3，7]上任意取两个数x      1和x2，且设x1＞x2，
      ∵f（x      1）=
      x1+1
      x1-2
      ，f（x2）=
      x2+1
      x2-2
      ，
      ∴f（x      1）-f（x2）=
      x1+1
      x1-2
      -
      x2+1
      x2-2
      =
      3(x2-x1)
      (x1-2)(x2-2)
      ．
      ∵x      1，x2∈[3，7]，x1＞x2，
      ∴x      1-2＞0，x2-2＞0，x2-x1＜0，
      ∴f（x      1）-f（x2）=
      3(x2-x1)
      (x1-2)(x2-2)
      ＜0．
      即f（x      1）＜f（x2），由单调函数的定义可知，函数f（x）为[3，7]上的减函数．
      （2）由单调函数的定义可得f（x）      max=f（3）=4，f（x）min=f（7）=
      8
      5
      ．
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