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  • 已知函数y=|x|+1，，（x＞0）的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根，其中0＜t＜1．（Ⅰ）求证：a2=2b+3；（Ⅱ）设（x1，M），（x2，N）是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点．①若，求函数f（x）的解析式；②求|M-N|的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=|x|+1，，（x＞0）的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根，其中0＜t＜1．
      （Ⅰ）求证：a      2=2b+3；
      （Ⅱ）设（x      1，M），（x2，N）是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点．
      ①若      ，求函数f（x）的解析式；
      ②求|M-N|的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）三个函数的最小值依次为1，，，（3分）
      由f（1）=0，得c=-a-b-1
      ∴f（x）=x      3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a+1）x+（a+b+1）]，
      故方程x      2+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是，．
      故      ，．（4分）
      ，即2+2（a+b+1）=（a+1）2
      ∴a      2=2b+3．（5分）
      （Ⅱ）①依题意x      1，x2是方程f'（x）=3x2+2ax+b=0的根，
      故有      ，，
      且△=（2a）      2-12b＞0，得b＜3．
      由      （7分）
      =；得，b=2，a2=2b+3=7．
      由（Ⅰ）知      ，故a＜-1，
      ∴      ，
      ∴      ．（9分）
      ②|M-N|=|f（x      1）-f（x2）|
      =|（x      13-x23）+a（x12-x22）+b（x1-x2）|
      =|x      1-x2|?|（x1+x2）2-x1x2+a（x1+x2）+b|
      =
      =      （或）．（11分）
      由（Ⅰ）
      ∵0＜t＜1，∴2＜（a+1）      2＜4，
      又a＜-1，
      ∴      ，
      ，（或）（13分）
      ∴      ．（15分）
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