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  • 设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称???对任意x1，x2∈[0，12]，都有f（x1+x2）=f（x1）?f（x2），且f（1）=a＞0．（Ⅰ）求f(12)，f(14)；（Ⅱ）证明f（x）是周期函数；（Ⅲ）记an=f（2n+12n），求limn→∞(lnan)．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称???对任意x1，x2∈[0，
      1
      2
      ]，都有f（x1+x2）=f（x1）?f（x2），且f（1）=a＞0．
      （Ⅰ）求f(
      1
      2
      )，f(
      1
      4
      )；
      （Ⅱ）证明f（x）是周期函数；
      （Ⅲ）记a      n=f（2n+
      1
      2n
      ），求limn→∞(lnan)．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，
      1
      2
      ]，
      都有f（x      1+x2）=f（x1）?f（x2），所以
      f(x)=f(
      x
      2
      +
      x
      2
      )=f(
      x
      2
      )?f(
      x
      2
      )≥0，x∈[0，1]
      ∵f(1)=f(
      1
      2
      +
      1
      2
      )=f(
      1
      2
      )?f(
      1
      2
      )=[f(
      1
      2
      )]2
      f(
      1
      2
      )=f(
      1
      4
      +
      1
      4
      )=f(
      1
      4
      )?f(
      1
      4
      )=[f(
      1
      4
      )]2
      f（1）=a＞0，（3分）
      ∴f(
      1
      2
      )=a
      1
      2
      ，f(
      1
      4
      )=a
      1
      4
      ，（6分）

      （Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，
      故f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R
      又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），x∈R，
      ∴f（x）=f（x-2），x∈R，
      得f（x）=f（x+2），x∈R
      这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（10分）

      （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1]
      ∵f（
      1
      2
      ）=f（n×
      1
      2n
      ）=f（
      1
      2n
      +
      1
      2n
      +…+
      1
      2n
      ）=f（
      1
      2n
      ）n
      ∴f(
      1
      2n
      )=a
      1
      2n
      ，（12分）
      ∵f（x）的一个周期是2
      ∴f（2n+
      1
      2n
      ）=f（
      1
      2n
      ），因此an=a
      1
      2n

      ∴limn→∞（lna      n）=limn→∞(
      1
      2n
      lna)=0．（14分）
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