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  • 已知函数f（x）=ax+1x+2．（1）若a=1，判断函数f（x）在（-2，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若函数f（x）=ax+1x+2在（-2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      ax+1
      x+2
      ．
      （1）若a=1，判断函数f（x）在（-2，+∞）上的单调性并用定义证明；
      （2）若函数f（x）=
      ax+1
      x+2
      在（-2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=1时，f(x)=
      x+1
      x+2
      ，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
      下面证明：
      设-2＜x      1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=
      x1+1
      x1+2
      -
      x2+1
      x2+2
      =
      x1-x2
      (x1+2)(x2+2)

      ∵-2＜x      1＜x2
      ∴x      1-x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
      所以函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
      （2）设-2＜x      1＜x2，
      因为函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
      所以有f(x      1)-f(x2)=
      ax1+1
      x1+2
      -
      ax2+1
      x2+2
      =
      (2a-1)(x1-x2)
      (x1+2)(x2+2)
      ＜0，
      ∵-2＜x      1＜x2
      ∴x      1-x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，
      所以2a-1＞0，即a＞
      1
      2
      ，
      所以实数a的取值范围是(
      1
      2
      ，+∞)．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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