已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-32x+b最多只有一个交点；（2）若方程f（x）=log4（a?2x-4a3）有且只有一个解，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-

x+b最多只有一个交点；
（2）若方程f（x）=log₄（a?2^x-

）有且只有一个解，求实数a的取值范围．

见解析

解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴log₄(4^-x+1)-kx=log₄(4^x+1)+kx，
∴log₄

4^x+1

4^-x+1

=-2kx，
化为x=-2kx，对一切x∈R恒成立，解得k=-

．
由题意可知：只要证明函数f（x）+

x=log₄(4^x+1)+x在定义域R上单调即可．
∵函数y=4^x与y=x在R单调递增，∴函数y=log₄(4^x+1)+x在R上单调递增．
因此对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-

x+b最多只有一个交点；
（2）若方程f（x）=log₄（a?2^x-

）有且只有一个解，
即log₄(4^x+1)-

x=log₄(a?2^x-

)，化为2^x+

2^x

=a?2^x-

，即此方程有且只有一个解．
令t=2^x＞0，上述问题化为方程(a-1)t²-

t-1=0有且只有一个正根．
①若a=1，解得t=-

，不合题意，应舍去；
②a≠1，由△=0，解得a=-

或-3．
当a=-

时，t=-2不合题意，应舍去；当a=-3时，t=

，满足题意．
③若a≠1，△＞0，且方程有一个正根和一个负根时，

-1

a-1

＜0，解得a＞1．
综上a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．

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