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  • 若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）-1为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
      （1）求证：f（x）-1为奇函数；
      （2）求证：f（x）是R上的增函数；
      （3）若f（4）=5，解不等式f（3m      2-m-2）＜3．

      试题解答

      见解析
      解：（1）定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，
      令x      1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1?f（0）=1，
      令x      1=x，x2=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，
      ∴[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，
      ∴f（x）-1为奇函数．
      （2）由（1）知，f（x）-1为奇函数，
      ∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，
      任取x      1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
      ∵f（x      1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，
      ∴f（x      2-x1）=f（x2）+f（-x1）-1=f（x2）-[f（x1）-1]=
      f（x      2）-f（x1）+1．
      ∵当x＞0时，f（x）＞1，
      ∴f（x      2-x1）=f（x2）-f（x1）+1＞1，∴f（x1）＜f（x2），
      ∴f（x）是R上的增函数．
      （3）∵f（x      1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，且f（4）=5，
      ∴f（4）=f（2）+f（2）-1?f（2）=3．
      由不等式f（3m      2-m-2）＜3，得f（3m2-m-2）＜f（2），
      由（2）知，f（x）是R上的增函数，
      ∴3m      2-m-2＜2，∴3m2-m-4＜0，∴-1＜m＜
      4
      3
      ，
      ∴不等式f（3m      2-m-2）＜3的解集为（-1，
      4
      3
      ）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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