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  • 已知函数f(x)={x2+x+4x(x＞0)-x2-x+4x(x＜0)，（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；（Ⅱ）判断函数f（x）分别在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      {
      x2+x+4
      x
      (x＞0)
      -
      x2-x+4
      x
      (x＜0)
      ，
      （Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；
      （Ⅱ）判断函数f（x）分别在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题可知函数定义域关于原点对称．
      当x＞0时，-x＜0，
      则f(x)=
      x2+x+4
      x
      ，f(-x)=
      (-x2)-(-x)+4
      (-x)
      =
      x2+x+4
      x
      ，
      ∴f（x）=f（-x）．
      当x＜0时，-x＞0，
      则f(x)=-
      x2-x+4
      x
      ，f(-x)=
      (-x2)+(-x)+4
      (-x)
      =-
      x2-x+4
      x
      ，
      ∴f（x）=f（-x）．
      综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
      （Ⅱ）当x＞0时，f(x)=
      x2+x+4
      x
      =x+
      4
      x
      +1，
      设x      2＞x1＞0，则f(x2)-f(x1)=
      x2-x1
      x1?x2
      (x1?x2-4)
      当x      2＞x1≥2时，f（x2）-f（x1）＞0；当2≥x2＞x1＞0时，f（x2）-f（x1）＜0，
      ∴函数f（x）在???0，2]上是减函数，函数f（x）在[2，+∞）上是增函数．
      （另证：当x＞0，f(x)=
      x2+x+4
      x
      =x+
      4
      x
      +1，f′(x)=1-
      4
      x2
      ；
      ∵0＜x≤2?0＜x      2≤4?
      4
      x2
      ≥1?1-
      4
      x2
      ≤0
      x≥2?x      2≥4?0＜
      4
      x2
      ≤1?1-
      4
      x2
      ≥0
      ∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．
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