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  • 已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，
      （1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
      （2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=1时，f（x）=x3-3|x-1|，（2分）
      此时f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函数．（5分）
      （2）当0≤x＜1时，f（x）=x      3-3a（1-x）=x3+3ax-3a，
      当x≥1时，f（x）=x      3-3a（x-1）=x3-3ax+3a
      ∴f(x)=
      {
      x3+3ax-3a (0≤x＜1)&
      x3-3ax+3a (x≥1)&
      ，（7分）
      （i）当0≤x＜1时，f'（x）=3x      2+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）内单调递增，此时[f（x）]min=f（0）=-3a（9分）
      （ii）当x≥1时，f′(x)=3x      2-3a=3(x2-a)=3(x-
      √a
      )(x+
      √a
      )，
      令f'（x）=0，可得两极值点x=-
      √a
      或x=
      √a
      ，
      ①若0＜a≤1，则
      √a
      ≤1，可得f（x）在[1，+∞）内单调递增，
      结合（i）、（ii）可得此时[f（x）]      min=f（0）=-3a（11分）
      ②若a＞1，则
      √a
      ＞1，可得f（x）在[1，
      √a
      )内单调递减，(
      √a
      ，+∞)内单调递增，
      ∴f（x）在[1，+∞）内有极小值f(
      √a
      )=(
      √a
      )3-3a
      √a
      +3a=-2a
      √a
      +3a，
      此时[f(x)]      min=min{f(0)，f(
      √a
      )}
      而f(
      √a
      )-f(0)=-2a
      √a
      +3a-(-3a)=-2a
      √a
      +6a=-2a(
      √a
      -3)
      可得1＜a≤9时，f(
      √a
      )≥f(0)，a＞9时，f(
      √a
      )＜f(0)（14分）
      ∴综合①②可得，当0＜a≤9时，[f（x）]      min=f（0）=-3a，
      当a＞9时，[f(x)]      min=f(
      √a
      )=-2a
      √a
      +3a（15分）
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