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函数f（x）=2x-2-x（x∈R）．（1）证明函数f（x）在R上为单调增函数；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

函数f（x）=2^x-2^-x（x∈R）．
（1）证明函数f（x）在R上为单调增函数；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性．

试题解答

见解析

解：（1）证明：在定义域R中任取两个实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（2^x₁-2^-x₂）-（2^x₂-2^-x₂）=2^x₁-2^x₂+

1

2^x₂

-

1

2^x₁

=（2^x₁-2^x₂）（1+

1

2^x₁+x₂

）；
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁＜2^x₂，2^x₁-2^x₂＜0，1+

1

2^x₁+x₂

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）是R上的增函数．
（2）函数f（x）是R上的奇函数．
∵f（x）=2^x-2^-x，
∴f（-x）=2^-x-2^x=-f（x）；
∴f（x）是R上的奇函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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