已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）定理：函数f（x）=ax+bx（a、b是正常数）在区间（0，√ba）上为减函数，在区间(√ba，+∞)上为增函数．参考该定理，解决下面问题：若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）定理：函数f（x）=ax+

（a、b是正常数）在区间（0，

√

）上为减函数，在区间(

√

，+∞)上为增函数．参考该定理，解决下面问题：若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范围．

见解析

解：（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．…（2分）
即log₄

4^x+1

4^-x+1

=-2kx，
log₄4^x=-2kx，…（4分）
∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．
∴k=-

．…（5分）
（利用f（-1）=f（1）解出k=-

，可得满分）
（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）-

x，
∴m=log₄

4x+1

=log₄（2^x+

）．…（7分）
设u=2^x+

，又设t=2^x，则u=t+

，由定理，知u的最小值=u（1）=2，…（9分）
∴m≥log₄2=

．
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥

．…（10分）

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