已知f（x）是R上的一个偶函数，g（x）是R上的一个奇函数，且满足f（x）=g（x）+ax（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设f( 1 )=54，求a与f（2）的值；（3）设f（x0）=m，f（2x0）=m，求x0与m的值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）是R上的一个偶函数，g（x）是R上的一个奇函数，且满足f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的解析式；（2）设f( 1 )=

，求a与f（2）的值；（3）设f（x₀）=m，f（2x₀）=m，求x₀与m的值．

见解析

（满分12分）
解：（1）由题设知f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1，x∈R）…①
以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x
又f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）所以f（x）=-g（x）+a^-x…②
由①+②得f(x)=

a^x+a^-x

（a＞0，a≠1，x∈R）；…（4分）
（2）由f(1)=

a+a^-1

?a=2或a=

?f(2)=

a²+a^-2

；…（8分）
（3）由f（x₀）=f（2x₀）?a^x₀+a^-x₀=a^2x₀+a^-2x₀=(a^x₀+a^-x₀)²-2，
所以a^x₀+a^-x₀=2?x₀=0；m=f（x₀）=f（0）=1…（12分）

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