已知定义域为R的奇函数f（x）=-2x+b2x+1+a（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）判定函数f（x）的单调性，并用定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义域为R的奇函数f（x）=

-2^x+b

2^x+1+a

（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）判定函数f（x）的单调性，并用定义证明．

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）是R上奇函数
由f(0)=0即

-1+b

2+a

=0得b=1（1分）
又由f(-x)=-f(x)即

-2^-x+1

2^-x+1+a

-2^x+1

2^x+1+a

，解得a=2（5分）
（Ⅱ）由f(x)=

-2^x+1

2^x+1+2

2^x+1

（6分）
∵2^x为增函数，∴f（x）是R上的减函数（7分）
证明：设x₁＜x₂，f(x₁)-f(x₂)=

2^x₁+1

2^x₂+1

2^x₂-2^x₁

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

（10分）
∵x₁＜x₂∴2^x₁＜2^x₂2^x₂-2^x₁＞0（11分）
∵2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0∴

2^x₂-2^x₁

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）（12分）
∴f（x）是R上的减函数（13分）

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