已知定义在R的函数f(x)=-2x+a2x+1+b（a，b为实常数）．（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在R的函数f(x)=

-2^x+a

2^x+1+b

（a，b为实常数）．
（Ⅰ）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）f(x)=

-2^x+1

2^x+1+1

，f(1)=

-2+1

2²+1

，f(-1)=

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数；（2分）
（Ⅱ）f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即

-2^-x+a

2^-x+1+b

-2^x+a

2^x+1+b

对任意x∈R恒成立．（4分）
化简整理得（2a-b）?2^2x+（2ab-4）?2^x+（2a-b）=0对任意x∈R恒成立．（6分）
∴

{	2a-b=0 2ab-4=0

，∴

{

a=-1

b=-2

（舍）或

{

a=1

b=2

，∴

{

a=1

b=2

．（8分）
另解：∵f（x）是定义在R的奇函数，∴

{	f(0)=0 f(-1)+f(1)=0

，???
∴

{

a=1

b=2

，验证满足，∴

{

a=1

b=2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f(x)=

-2^x+1

2^x+1+2

2^x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
∴0＜

2^x+1

＜1，从而-

＜f(x)＜

；（12分）
而c²-3c+3=(c-

)²+

≥

＞

对任何实数c成立；
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．（14分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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