若y=f（x）是定义在R上的函数，且满足：①f（x）是偶函数；②f（x-1）是奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=lgx，则方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为（）试题及答案-单选题-云返教育

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若y=f（x）是定义在R上的函数，且满足：①f（x）是偶函数；②f（x-1）是奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=lgx，则方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为（　　）

试题解答

解：由①知f（-x）=f（x），由②知f（-x-1）=-f（x-1），即函数图象关于（-1，0）对称；

由①②得：f（-x-2）=-f（x）=-f（-x）
∴f（x-2）=-f（x），∴f（x-4）=-f（x-2）-f（x）
∴函数f（x）的最小正周期为4
∵当0＜x≤1时，f（x）=lgx，∴函数f（x）在一个周期（-2，2）上的图象如图：
由图象数形结合可知，当x∈（-6，6）时，即三个连续周期上，方程f（x）=2012有6个关于y轴对称的根，其和为0
当x∈（6，10）时，方程f（x）=2012有2个关于x=8对称的根，其和为2×8=16
故方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为0+16=16
故选C

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若y=f（x）是定义在R上的函数，且满足：①f（x）是偶函数；②f（x-1）是奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=lgx，则方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

若y=f（x）是定义在R上的函数，且满足：①f（x）是偶函数；②f（x-1）是奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=lgx，则方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为（）试题及答案-单选题-云返教育