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  • 设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增．（1）求a，b，c的值；（2）当x＜0时，f（x）的单调性如何？证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=
      ax2+1
      bx+c
      是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增．
      （1）求a，b，c的值；
      （2）当x＜0时，f（x）的单调性如何？证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）为奇函数，
      故f（x）的定义域关于原点对称
      又f（x）的定义域为{x|x≠-
      c
      b
      }（显然b≠0，否则f（x）为偶函数）
      ∴-
      c
      b
      =0，即c=0
      于是得f(x)=
      a
      b
      x+
      1
      bx
      ，且
      a+1
      b
      =2，
      4a+1
      2b
      ＜3
      ∴
      8b-3
      2b
      ＜3
      ∴0＜b＜
      3
      2
      又b∈Z
      ∴b=1
      ∴a=1
      故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上单调递增

      （2）由（1）知f(x)=x+
      1
      x
      ，
      f(x      1)-f(x2)=x1+
      1
      x1
      -x2-
      1
      x2
      =(x1-x2)(1-
      1
      x1x2
      )=
      x1-x2
      x1x2
      (x1x2-1)
      ①当-1＜x      1＜x2＜0时，显然x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0
      ∴f（x）为减函数
      ②当x      1＜x2＜-1时，显然x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      ∴f（x）为增函数
      综上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数．
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