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  • 已知a＞0且a≠1，f（x）=aa2-1(ax-a-x)（x∈R）（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a＞0且a≠1，f（x）=
      a
      a2-1
      (ax-a-x)（x∈R）
      （1）判断f（x）的奇偶性并证明；
      （2）判断f（x）的单调性并证明；
      （3）对于f（x），当x∈（-1，1）时f（1-m）+f（1-m      2）＜0，求m的集合M．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）为奇函数．
      ∵f（x）定义域为R，关于原点对称，
      又f（-x）=
      a
      a2-1
      (a-x-ax)=-f（x），
      ∴f（x）为奇函数；
      （2）任取x      1，x2，且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=
      a
      a2-1
      （ax1-a-x1）-
      a
      a2-1
      （ax2-a-x2）=
      a
      a2-1
      ?
      (ax1-ax2)(ax1+x2+1)
      ax1+x2
      ，
      ①当a＞1时，
      a
      a2-1
      ＞0，又x10，ax1+x2+1＞0，
      所以f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      故f（x）为增函数；
      ②当0＜a＜1时，
      a
      a2-1
      ＜0，当x10，ax1+x2+1＞0，
      所以f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      故f（x）也为增函数，
      综上f（x）为增函数；
      （3）∵f（x）是奇函数且在R上是增函数，
      ∴f（1-m）+f（1-m      2）＜0?f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），
      又x∈（-1，1），∴
      {
      -1＜1-m＜1
      -1＜m2-1＜1
      1-m＜m2-1
      ，解得1＜m＜
      √2
      ，
      故M={m|1＜m＜
      √2
      }．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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