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已知f(x)=4x+a4x+1是奇函数，（1）求常数a的值；（2）求f（x）的定义域和值域；（3）讨论f（x）的单调性并证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f(x)=

4^x+a

4^x+1

是奇函数，
（1）求常数a的值；
（2）求f（x）的定义域和值域；
（3）讨论f（x）的单调性并证明．

试题解答

见解析

解：（1）因为f(x)=

4^x+a

4^x+1

是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即

4^-x+a

4^-x+1

4^x+a

4^x+1

，也即

1+a?4^x

1+4^x

4^x+a

4^x+1

，
所以

(1+a?4^x)+(4^x+a)

4^x+1

=a+1=0，
所以a=-1．
（2）由（1）知，f（x）=

4^x-1

4^x+1

=1-

4^x+1

，
其定义域为R．
因为4^x＞0，所以0＜

4^x+1

＜2，-1＜1-

4^x+1

＜1，
即-1＜f（x）＜1．
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（3）所以函数f（x）在R上为增函数．
证明：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

4^x₁+1

）-（1-

4^x₂+1

）
=

4^x₂+1

4^x₁+1

2(4^x₁-4^x₂)

(4^x₂+1)(4^x₁+1)

．
因为x₁＜x₂，所以4^x₁＜4^x₂，4^x₁+1＞0，4^x₂+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在R上为增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知f(x)=4x+a4x+1是奇函数，（1）求常数a的值；（2）求f（x）的定义域和值域；（3）讨论f（x）的单调性并证明．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题