函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，有f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

试题解答

见解析

（1）解：令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解得f（-1）=0．
令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），∴f（-x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．
（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．（*）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴（*）等价于不等式组

{	(3x+1)(2x-6)＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

或

{	(3x+1)(2x-6)＜0 -(3x+1)(2x-6)≤64

或

{

x＞3或x＜-

≤x≤5

或

{

＜x＜3

x∈R.

∴3＜x≤5或-

≤x＜-

或-

＜x＜3．
∴x的取值范围为{x|-

≤x＜-

或-

＜x＜3或3＜x≤5}．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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