• 已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(-1)=1,若对任意a、b∈[-1,1],a+b≠0,都有f(a)+f(b)a+b<0.(1)判断f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;(2)解不等式f(1-x)+f(1-x2)>0;(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有x[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育

    • 试题详情

      已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(-1)=1,若对任意a、b∈[-1,1],a+b≠0,都有
      f(a)+f(b)
      a+b
      <0.
      (1)判断f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;
      (2)解不等式f(1-x)+f(1-x
      2)>0;
      (3)若f(x)≤m
      2-2am+1对所有x[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(1)f(x)在[-1,1]上是减函数,证明如下:
      任取x
      1、x2∈[-1,1],且x1<x2
      又f(x)是奇函数,
      于是f(x
      1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
      f(x1)+f(-x2)
      x1+(-x2)
      ?(x1-x2).
      据已知
      f(x1)+f(-x2)
      x1+(-x2)
      <0,x1-x2<0,
      ∴f(x
      1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
      ∴f(x)在[-1,1]上是减函数.
      (2)由奇函数性质知,f(1-x)+f(1-x
      2)>0可化为f(1-x)>-f(1-x2)=f(x2-1),
      由(1)知f(x)为奇函数,所以有1-x<x
      2-1①,
      且-1≤1-x≤1②,
      -1≤x
      2-1≤1③,
      联立①②③解得,1<x≤
      2

      故不等式的解集为{x|1<x≤
      2
      }.
      (3)对所有x[-1,1],f(x)≤m
      2-2am+1成立,等价于f(x)max≤m2-2am+1,
      由f(x)在[-1,1]上的单调递减知,f(x)
      max=f(-1)=1,
      所以1≤m
      2-2am+1,即0≤m2-2am,
      又对a∈[-1,1]恒成立,则有
      {
      m2-2m(-1)≥0
      m2-2m×1≥0
      ,解得m≤-2或m=0或m≥2,
      故实数m的取值范围为m≤-2或m=0或m≥2.

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