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已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(-1)=1,若对任意a、b∈[-1,1],a+b≠0,都有f(a)+f(b)a+b<0.(1)判断f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;(2)解不等式f(1-x)+f(1-x2)>0;(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有x[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(-1)=1,若对任意a、b∈[-1,1],a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
<0.
(1)判断f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;
(2)解不等式f(1-x)+f(1-x
2
)>0;
(3)若f(x)≤m
2
-2am+1对所有x[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)f(x)在[-1,1]上是减函数,证明如下:
任取x
1
、x
2
∈[-1,1],且x
1
<x
2
,
又f(x)是奇函数,
于是f(x
1
)-f(x
2
)=f(x
1
)+f(-x
2
)=
f(x
1
)+f(-x
2
)
x
1
+(-x
2
)
?(x
1
-x
2
).
据已知
f(x
1
)+f(-x
2
)
x
1
+(-x
2
)
<0,x
1
-x
2
<0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
).
∴f(x)在[-1,1]上是减函数.
(2)由奇函数性质知,f(1-x)+f(1-x
2
)>0可化为f(1-x)>-f(1-x
2
)=f(x
2
-1),
由(1)知f(x)为奇函数,所以有1-x<x
2
-1①,
且-1≤1-x≤1②,
-1≤x
2
-1≤1③,
联立①②③解得,1<x≤
√
2
,
故不等式的解集为{x|1<x≤
√
2
}.
(3)对所有x[-1,1],f(x)≤m
2
-2am+1成立,等价于f(x)
max
≤m
2
-2am+1,
由f(x)在[-1,1]上的单调递减知,f(x)
max
=f(-1)=1,
所以1≤m
2
-2am+1,即0≤m
2
-2am,
又对a∈[-1,1]恒成立,则有
{
m
2
-2m(-1)≥0
m
2
-2m×1≥0
,解得m≤-2或m=0或m≥2,
故实数m的取值范围为m≤-2或m=0或m≥2.
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