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  • 已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，对任意x∈R，x≠0，都有f(x)+f(1x)=-1+2log2(x2+1x2)．（Ⅰ）指出f（x）在[0，+∞）上的单调性（不要求证明），并求f（1）的值；（Ⅱ）k为常数，-1＜k＜1，解关于x的不等式f(kx+3√x2+9)＞12．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，对任意x∈R，x≠0，都有f(x)+f(
      1
      x
      )=-1+2log2(x2+
      1
      x2
      )．
      （Ⅰ）指出f（x）在[0，+∞）上的单调性（不要求证明），并求f（1）的值；
      （Ⅱ）k为常数，-1＜k＜1，解关于x的不等式f(
      kx+3
      √x2+9
      )＞
      1
      2
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上是增函数，
      ∵f(x)+f(
      1
      x
      )=-1+2log2(x2+
      1
      x2
      )，
      ∴f（1）+f（1）=-1+2log      2（1+1）=1，
      ∴f(1)=
      1
      2
      ．
      （Ⅱ）因为f（x）是偶函数，所以f(
      kx+3
      √x2+9
      )=f(
      |kx+3|
      √x2+9
      )，
      不等式就是f(
      |kx+3|
      √x2+9
      )＞f(1)，∵f（x）在[0，+∞）上递增，∴
      |kx+3|
      √x2+9
      ＞1∴|kx+3|＞
      √x2+9
      ，
      k      2x2+6kx+9＞x2+9．∴（1-k2）x2-6kx＜0，
      ①若k=0，则x      2＜0，∴不等式解集为?；
      ②若-1＜k＜0，则
      6k
      1-k2
      ＜x＜0，∴不等式解集为(
      6k
      1-k2
      ，0)；
      ③若0＜k＜1，则0＜x＜
      6k
      1-k2
      ，∴不等式解集为(0，
      6k
      1-k2
      )．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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