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  • 函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=
      ax+b
      1+x2
      是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）确定函数的解析式；
      （2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
      （3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．
      又f（
      1
      2
      ）=
      2
      5
      ，所以
      1
      2
      a
      1+
      1
      4
      =
      2
      5
      ，解得a=1．
      所以f（x）=
      x
      1+x2
      ．
      （2）设-1＜x      1＜x2＜1，
      则f（x      1）-f（x2）=
      x1
      1+x12
      -
      x2
      1+x22
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x12)(1+x22)
      ，
      因为-1＜x      1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，1-x1x2＞0，
      所以f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
      所以函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
      （3）f（t-1）+f（t）＜0可化为f（t-1）＜-f（t）．
      又f（x）为奇函数，所以f（t-1）＜f（-t），
      f（x）为（-1，1）上的增函数，所以t-1＜-t①，且-1＜t-1＜1②，-1＜t＜1③；
      联立①②③解得，0＜t＜
      1
      2
      ．
      所以不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集为(0，
      1
      2
      )．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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