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  • 已知函数：f(x)=x+4x（1）判定f（x）的奇偶性，并证明；（2）当x＞0时，判断f（x）在（0，2）和（2，+∞）上的单调性，并证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数：f(x)=x+
      4
      x

      （1）判定f（x）的奇偶性，并证明；
      （2）当x＞0时，判断f（x）在（0，2）和（2，+∞）上的单调性，并证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）是奇函数，
      因为对于任意的x（x≠0），
      f(-x)=-x-
      4
      x
      =-(x+
      4
      x
      )=-f(x)
      所以f（x）是奇函数
      （2）①当x＞0时，f（x）的单调减区间为（0，2），
      对于任意的x      1，x2∈（0，2），当x1＜x2时
      f(x      1)-f(x2)=x1+
      4
      x1
      -x2-
      4
      x2
      =(x1-x2)?
      x1x2-4
      x1x2
      ．
      因为0＜x      1x2＜4，所以f（x1）-f（x2）＞0
      所以f（x）在（0，2）上为减函数
      ②当x＞0时，f（x）的单调增区间为（2，+∞），
      对于任意的x      1，x2∈（2，+∞），当x1＜x2时
      f(x      1)-f(x2)=x1+
      4
      x1
      -x2-
      4
      x2
      =(x1-x2)?
      x1x2-4
      x1x2

      因为x      1x2＞4，所以f（x1）-f（x2）＜0
      所以f（x）在（2，+∞）上为增函数
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