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  • 如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=12CD，∠BAD=∠ADC=90°（1）在面PCD上找一点M，使BM⊥面PCD；（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=
      1
      2
      CD，∠BAD=∠ADC=90°
      （1）在面PCD上找一点M，使BM⊥面PCD；
      （2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）M为PC的中点，设PD中点为N，则MN=
      1
      2
      CD，且MN∥
      1
      2
      CD，∴MN=AB，MN∥AB．
      再由 PA=AB=AD=
      1
      2
      CD，可得ABMN为平行四边形，∴BM∥AN．
      可得∠PAD=90°，∴AN⊥PD，又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴BM⊥面PCD．…（6分）
      （2）延长CB交DA于E，∵AB=
      1
      2
      CD，且AB∥
      1
      2
      CD，∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE．
      又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角．
      再由PD=
      √2
      AD，CD=2AD，可得tan∠CPD=
      √2
      ，
      ∴cos∠CPD=
      √3
      3
      ．…（12分）
      标签
      必修2人教A版解答题高中数学

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