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  • （2014?浙江模拟）若将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如图）．（Ⅰ）若a=2√2，求证：AB∥平面CDE；（Ⅱ）求实数a的值，使得二面角A-EC-D的大小为60°．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2014?浙江模拟）若将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如图）．
      （Ⅰ）若a=2
      √2
      ，求证：AB∥平面CDE；
      （Ⅱ）求实数a的值，使得二面角A-EC-D的大小为60°．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，则
      A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，
      √2
      ），D（0，2，0），E（0，0，2
      √2
      ），
      ∴
      AB
      =(2，0，0)，
      DE
      =(0，-2，2
      √2
      )，
      DC
      =(1，-1，
      √2
      )（2分）
      设平面CDE的一个法向量为
      n1
      =(x，y，z)，
      则有-2y+2
      √2
      z=0，x-y+
      √2
      z=0，
      取z=
      √2
      时，
      n1
      =(0，2，
      √2
      )（4分）
      ∴
      AB
      ?
      n1
      =0，又AB不在平面CDE内，所以AB∥平面CDE；（7分）
      （Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，
      √2
      ），D（0，2，0），E（0，0，a），∴
      DE
      =(0，-2，a)，
      DC
      =(1，-1，
      √2
      )，
      设平面CDE的一个法向量为
      n2
      =(x，y，z)，则有-2y+az=0，x-y+
      √2
      z=0，
      取z=2时，
      n2
      =(a-2
      √2
      ，a，2)（9分）
      又平面AEC的一个法向量为
      n3
      =(-1，1，0)，（10分）
      ∵二面角A-EC-D的大小为60°，∴
      n2
      ?
      n3
      |
      n2
      ||
      n3
      |
      =
      1
      2
      ，
      即      a2-2
      √x
      a-2=0，解得a=
      √2
      ±2（13分）
      又a＞0，所以a=
      √2
      +2． （14分）
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      必修2人教A版解答题高中数学

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