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  • （2014?汕头二模）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥面CBB1．（1）证明：DE∥面ABC；（2）求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比；（3）若BB1=BC，求CA1与面BB1C所成角的正弦值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2014?汕头二模）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥面CBB1．
      （1）证明：DE∥面ABC；
      （2）求四棱锥C-ABB      1A1与圆柱OO1的体积比；
      （3）若BB      1=BC，求CA1与面BB1C所成角的正弦值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：连接EO，OA．∵E，O分别为B1C，BC的中点，∴EO∥BB1．
      又DA∥BB      1，且DA=EO=
      1
      2
      BB1．∴四边形AOED是平行四边形，
      即DE∥OA，DE?面ABC．∴DE∥面ABC．
      （2）由题DE⊥面CBB      1，且由（1）知DE∥OA．∴AO⊥面CBB1，∴AO⊥BC，
      ∴AC=AB．因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB，且AA      1⊥CA，
      ∴CA⊥面AA      1B1B，即CA为四棱锥的高．
      设圆柱高为h，底半径为r，则V      柱=πr2h，V锥=
      1
      3
      h(
      √2
      r)?(
      √2
      r)=
      2
      3
      hr2，
      ∴V      锥：V柱 =
      2
      3π
      ．
      （3）解：作过C的母线CC      1，连接B1C1，则B1C1是上底面圆O1的直径，
      连接A      1O1，得A1O1∥AO，又AO⊥面CBB1C1，
      ∴A      1O1⊥面CBB1C1，连接CO1，
      则∠A      1CO1为CA1与面BB1C所成的角，
      设BB      1=BC=2，则A1C=
      √22+(
      √2
      )2
      =
      √6
      ，
      A      1O1=1．（12分）
      在Rt△A      1O1C中，sin∠A1CO1=
      A1O1
      A1C
      =
      √6
      6
      ．
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