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  • 如图，五面体A-BCC1B1中，AB1=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A-BC-C1为直二面角．（Ⅰ）若D是AC中点，求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求该五面体的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，五面体A-BCC1B1中，AB1=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A-BC-C1为直二面角．
      （Ⅰ）若D是AC中点，求证：AB      1∥平面BDC1；
      （Ⅱ）求该五面体的体积．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）证明???连接B1C交BC1于O，连接DO，∵四边形BCC1B1是矩形，
      ∴O为B      1C中点又D为AC中点，从而，DO∥AB1 ．
      ∵AB      1?平面BDC1，DO?平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1 ．
      （Ⅱ）过A作AH⊥BC，垂足为H，∵△ABC为正三角形，∴H为BC中点，AH=
      √AB2-BH2
      =
      √3
      ，∵二面角A-BC-C1为直二面角，∴AH⊥面BCC1B1???又BB1=
      √AB
      2
      1
      -AB2
      =2
      √3
      ，故矩形BCC1B1的面积S=BC?BB1=2×2
      √3
      =4
      √3
      ，
      故所求五面体体积V=V      A-BCC1B1=
      1
      3
      S?AH=
      1
      3
      ?4
      √3
      ?
      √3
      =4．
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