如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BED；（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大小；（Ⅲ）求点E到平面A1BCD1的距离．试题及答案-解答题-云返教育

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如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，E是A₁A的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点E到平面A₁BCD₁的距离．

试题解答

见解析

解：（I）如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O，
连接EO．
A₁（0，0，4），C（3，3，0），
E（0，0，2），O（

，

，0)（2分）

A₁C

=(3，3，-4)，

，

，-2)，
∵

A₁C

，∴A₁C∥EO．
∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．（5分）
（II）由于AE⊥平面ABCD，
则

=(0，0，2)就是平面ABCD的法向量．（6分）
B（3，0，0），D（0，3，0），

=(-3，0，2)，

=(-3，3，0)
设平面EBD的法向量为

=(x，y，z)．
由

{

得

{	-3x+2z=0 -3x+3y=0.

令z=3，则

=(2，2，3)．（7分）
cos＜

，

＞=

|?|

√17

．
∴二面角E-BD-A的大小为arrccos

√17

．（9分）
（III）D₁（0，3，4），则

A₁D₁

=(0，3，0)，
设平面A₁BCD₁的法向量为

=(x′，y′，z′)．

{

A₁D₁

A₁C

=0.

即

{	3y′=0 3x′+3y′-4z′=0.

解得

{

y′=0

x′=

z′

令z'=3，则

=（-4，0，-3）．
即点E到平面A₁BCD₁的距离是

．
又

=(-3，-2，2)，h=|

．（14分）

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必修2 人教A版解答题高中数学

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BED；（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大小；（Ⅲ）求点E到平面A1BCD1的距离．试题及答案-解答题-云返教育

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