（2008?江苏二模）正三棱柱A1B1C1-ABC中，点D是BC的中点，BC=√2BB1．设B1D∩BC1=F．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面AB1D．试题及答案-解答题-云返教育

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（2008?江苏二模）正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，点D是BC的中点，BC=

√2

BB₁．设B₁D∩BC₁=F．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥平面AB₁D．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）连结A₁B，设A₁B交AB₁于E，连结DE．

∵△A₁BC中，点D是BC的中点，点E是A₁B的中点，
∴DE∥A₁C． …（3分）
∵A₁C?平面AB₁D，DE?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D． …（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面B₁BCC₁，平面ABC∩平面B₁BCC₁=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵BC₁?平面B₁BCC₁，∴AD⊥BC₁．…（9分）
∵点D是BC中点，BC=

√2

BB₁，∴BD=

√2

BB₁．
由此可得：

BB₁

CC₁

√2

，
∴Rt△B₁BD∽Rt△BCC₁，可得∠BDB₁=∠BC₁C．
∴∠FBD+∠BDF=∠C₁BC+∠BC₁C=90°
∴BC₁⊥B₁D，…（13分）
∵B₁D∩AD=D，B₁D、AD?平面AB₁D，
∴BC₁⊥平面AB₁D． …（15分）

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必修2 人教A版解答题高中数学

（2008?江苏二模）正三棱柱A1B1C1-ABC中，点D是BC的中点，BC=√2BB1．设B1D∩BC1=F．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面AB1D．试题及答案-解答题-云返教育

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