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  • 四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD???其中底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且AP=AB=AD=2BC=6，M在棱PA上，满足AM=2MP．（Ⅰ）求三棱锥M-BCD的体积；（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）证明：PC∥面MBD．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD???其中底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且AP=AB=AD=2BC=6，M在棱PA上，满足AM=2MP．
      （Ⅰ）求三棱锥M-BCD的体积；
      （Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
      （Ⅲ）证明：PC∥面MBD．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意可得，四边形ABCD为直角梯形，S△BCD=SABCD-S△ABD=
      AB(BC+AD)
      2
      -
      AB?AD
      2
      =27-18=9，且AM=4，
      故      VM-BCD=
      1
      3
      S△BCD?MA=12．------（5分）
      （Ⅱ）取AD中点N，连CN，PN，易知AB∥CN，∴∠PCN或其补角就是PC与AB所成角．------（7分）
      在△PCN中，∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC，PC=9，
      又∵CN=AB=6，PN=3
      √5
      ，∴cos∠PCN=
      2
      3
      ，
      ∴异面直线PC与AB所成角余弦值为
      2
      3
      ．--------（10分）
      （Ⅲ）连AC交BD于Q，连MQ，∵AD∥BC，∴
      AQ
      QC
      =
      AD
      BC
      =2．
      又∵
      AM
      MP
      =2，则
      AQ
      QC
      =
      AM
      MP
      ，∴MQ∥PC．----------（13分）
      又∵PC?面MBD，MQ?面MBD，
      ∴PC∥面MBD．----------（15分）
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