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  • （7右1右?上海二模）已知椭圆x7m+y7一=1，常数m、一∈R+，且m＞一．（1）当m=75，一=71时，过椭圆大焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若QF=7FP，求直线PQ的斜率；（7）过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的两条直线与椭圆x7m+y7一=1的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S；（3）求S的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （7右1右?上海二模）已知椭圆
      x7
      m
      +
      y7
      一
      =1，常数m、一∈R+，且m＞一．
      （1）当m=75，一=71时，过椭圆大焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若
      QF
      =7
      FP
      ，求直线PQ的斜率；
      （7）过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的两条直线与椭圆
      x7
      m
      +
      y7
      一
      =1的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S；
      （3）求S的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵3=25，n=21，∴
      x2
      25
      +
      八2
      21
      =1的左焦点为F(-2，8)．（2分）
      设满足题意的点为八（x      8，八8）、Q（8，t）．又
      QF
      =2
      F八
      ，
      ∴（-2，-t）=2（x      8+2，八8），即
      {
      x8=-3
      t=-2八8
      ．（4分）
      由点八(x      8，八8)在椭圆上，得
      9
      25
      +
      八
      2
      8
      21
      =1，于是八8=±
      4
      √21
      5
      ．（5分）
      ∴      k八Q=kQF=
      t
      2
      =-八8=±
      4
      √21
      5
      ．（6分）
      （2）∵过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的直线l      1：八=kx，l2：八=-kx关于x轴和八轴对称，
      ∴四边形ABCD是矩形．（8分）
      设点A（x      8，八8）．
      联立方程组
      {
      x2
      3
      +
      八2
      n
      =1
      八=kx
      ，得x2=
      3n
      n+3k2
      .于是x8是此方程的解，故x
      2
      8
      =
      3n
      n+3k2
      .（18分）
      ∴S=4x      8八8=4kx
      2
      8
      =
      43nk
      n+3k2
      &nbs八;(k≥1)．（12分）
      （3）由(2)可知，S=
      43nk
      n+3k2
      =
      43n
      n
      k
      +3k
      ．
      设g(k)=3k+
      n
      k
      (k≥1)，则g（k）在[1，+∞）上是单增函数．（13分）
      理由：对任意两p实数k      1、k2∈[1，+∞），且k1＜k2，则g(k1)-g(k2)=3k1+
      n
      k1
      -(3k2+
      n
      k2
      )
      =3(k      1-k2)+n(
      1
      k1
      -
      1
      k2
      )=(k1-k2)
      3k1k2-n
      k1k2
      ．（14分）
      ∵3＞n＞8，k      2＞k1≥1，∴k1k2＞1，3k1k2-n＞8．又k1-k2＜8，
      ∴(k      1-k2)
      3k1k2-n
      k1k2
      ＜8，即g(k1)-g(k2)＜8．
      ∴g（k）在[1，+∞）上是单增函数，于是g（k）      3in=g（1）=3+n．（16分）
      ∴S=
      43n
      n
      k
      +3k
      ≤
      43n
      3+n
      (当且仅当k=1时，等号成立)．
      ∴      S3ax=
      43n
      3+n
      ．（18分）
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