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  • 已知抛物线P的方程是x2=4y，过直线l：y=-1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C．（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）证明：直线BC过定点，并求出定点坐标．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知抛物线P的方程是x2=4y，过直线l：y=-1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C．
      （1）证明：△ABC是直角三角形；
      （2）证明：直线BC过定点，并求出定点坐标．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：设A（m，-1），B（x1，y1），C（x2，y2）．
      ∵抛物线P的方程是x      2=4y，∴y′=．
      ∴      =x1，∴+1=-mx1，∴-2mx1-4=0．
      同理可得，      -2mx2-4=0，∴x1+x2=2m，x1?x2=-4．
      ∵K      AB?KAC=x1?x2==-1，
      ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
      （2）证明：BC所在的直线方程为 y-y      1=（x-x1），
      化简可得 y-      =（x1+x2）（x1-x2），即 y=mx+1，
      显然，当x=0时，y=1，故直线BC过定点（0，1）．
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