已知直线m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0．（1）求证：直线m过定点M；（2）求过M点且倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程；（3）过点M作直线n，与两负半轴围成△AOB，求△AOB面积的最小值及取得最小时时直线n的方程．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知直线m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0．
（1）求证：直线m过定点M；
（2）求过M点且倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程；
（3）过点M作直线n，与两负半轴围成△AOB，求△AOB面积的最小值及取得最小时时直线n的方程．

见解析

解：（1）方程m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0可化为a（x-2y-3）+（2x+y+4）=0，
要使a有无穷多个解，必须有

{	x-2y-3=0 2x+y+4=0

，得

{

x=-1

y=-2

．
无论a取何值，（-1，-2）都满足方程，故直线m过定点M（-1，-2）．
（2）设直线2x-y+1=0的倾斜角为α，则tanα=2，tan2α=

2tanα

1-tan²α

2×2

1-2²

，
∴过M点且倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程为：y-（-2）=-

[x-（-1）]，
整理得：4x+3y+10=0．
（3）依题意，直线n的斜率存在，设为k（k＜0），则过点M（-1，-2）的直线n的方程为：y+2=k（x+1），
令y=0，则x=

-1，OA长度为1-

；
令x=0，y=k-2，OB长度为2-k；
三角形面积S=

×（1-

）（2-k）
=

（2-k-

+2）≥

×（4+2

√(-k)?(-

)

）=4，当且仅当k=-2时取“=”，
故直线n的方程为：2x+y+4=0．

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