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已知函数f(x)=x2-cosx,对于[-,]上的任意x1,x2,有如下条件:①x1>x2;②x12>x22;③|x1|>x2.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是 .试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2
-cosx,对于[-
,
]上的任意x
1
,x
2
,有如下条件:
①x
1
>x
2
;②x
1
2
>x
2
2
;③|x
1
|>x
2
.
其中能使f(x
1
)>f(x
2
)恒成立的条件序号是
.
试题解答
见解析
先研究函数的性质,观察知函数是个偶函数,由于f′(x)=2x+sinx,在[0,
]上f′(x)>0,可推断出函数在y轴两边是左减右增,此类函数的特点是自变量离原点的位置越近,则函数值越小,欲使f(x
1
)>f(x
2
)恒成立,只需x
1
,到原点的距离比x
2
,到原点的距离大即可,由此可得出|x
1
|>|x
2
|,在所给三个条件中找符合条件的即可.
函数f(x)为偶函数,f′(x)=2x+sinx,
当0<x≤
时,0<sinx≤1,0<2x≤π,
∴f′(x)>0,函数f(x)在[0,
]上为单调增函数,
由偶函数性质知函数在[-
,0]上为减函数.
当x
1
2
>x
2
2
时,得|x
1
|>|x
2
|≥0,
∴f(|x
1
|)>f(|x
2
|),由函数f(x)在上[-
,
]为偶函数得f(x
1
)>f(x
2
),故②成立.
∵
>-
???而f(
)=f(
),
∴①不成立,同理可知③不成立.故答案是②.
故应填②
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