• 已知存在实数ω,φ(其中ω≠0,ω∈Z)使得函数f(x)=2cos(ωx+φ)是奇函数,且在上是增函数???(1)当ω=1,|?|<π时,φ的值为 ;(2)所有符合题意的ω与φ的值为 .试题及答案-填空题-云返教育

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      已知存在实数ω,φ(其中ω≠0,ω∈Z)使得函数f(x)=2cos(ωx+φ)是奇函数,且在上是增函数???
      (1)当ω=1,|?|<π时,φ的值为
               
      (2)所有符合题意的ω与φ的值为
               

      试题解答


      根据题意可得,再分别验证φ得数值是否符合题中的条件:f(x)在上是减函数,进而得到答案.:根据f(x)为奇函数,可得φ=,k∈Z,所以讨论当k=2n(n∈Z)与当k=2n+1(n∈Z)两种情况讨论,再结合函数的单调性解决问题即可得到答案.
      (1)因为函数f(x)=2cos(ωx+φ)是奇函数,
      所以φ=
      ,(k∈Z),
      因为|φ|<π,所以

      时,f(x)=2cos(x+)=-2sinx,
      所以根据余弦函数的性质可得f(x)在
      上是减函数,
      所以
      舍去.
      时,f(x)=2cos(x-)=2sinx,
      所以根据余弦函数的性质可得f(x)在
      上是增函数,
      所以
      符合题意,所以
      (2)由f(x)为奇函数,有f(-x)=-f(x)
      ∴2cos(-ωx+φ)=-2cos(ωx+φ)
      所以2cosωx?cosφ=0,
      又x∈R,∴cosωφ≠0,∴cosφ=0,
      解得:φ=
      ,k∈Z.
      当k=2n(n∈Z)时,
      为奇函数,
      因为f(x)在
      上是增函数,
      所以ω<0,由

      又f(x)在 (0,π4)上是增函数,故有
      ,-2≤ω<0,且ω=Z,
      ∴ω=-1或-2,故

      当k=2n+1(n∈Z)时,
      为奇函数,
      因为f(x)在
      上是增函数,
      所以ω>0,由

      又f(x)在 ???0,π4)上是增函数,故有
      ,0<ω≤2,且ω=Z,
      ∴ω=1或2,故

      所以所有符合题意的ω与φ的值为:
      或者
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