已知函数f（x）=sinπx(x2+1)(x2-2x+2)，下列结论正确的是．（1）方程f（x）=0在区间[-100，100]上实数解的个数是201个；（2）函数f（x）是周期函数；（3）函数f（x）既有最大值又有最小值；（4）函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴．试题及答案-填空题-云返教育

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已知函数f（x）=

sinπx

(x²+1)(x²-2x+2)

，下列结论正确的是．
（1）方程f（x）=0在区间[-100，100]上实数解的个数是201个；
（2）函数f（x）是周期函数；
（3）函数f（x）既有最大值又有最小值；
（4）函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴．

试题解答

（1）（3）（4）

解：（1）若函数f（x）=

sinπx

(x²+1)(x²-2x+2)

=0
则sinπx=0，即x∈z，故方程f（x）=0在区间[-100，100]上实数解的个数是201个，即（1）正确；
（2）由于函数的分子呈周期性变化，而分母不具周期性，故函数f（x）不是周期函数，故（2）错误；
（3）令分母（x²+1）（x²-2x+2）中的两项值域均为[1，+∞），其倒数的值域均为（0，1]，故两个函数相乘后必为有界函数，
故函数f（x）既有最大值又有最小值，故（3）正确；
（4）由于函数的分母恒为正，故函数的定义域为R，
由f（1-x）=

sinπ(1-x)

[(1-x)²+1][(1-x)²-2(1-x)+2]

sinπx

(x²-2x+2)(x²+1)

=f（x），可得函数的图象关于x=

对称，故（4）正确；
故答案为（1）（3）（4）

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